Trigonometria Exemplos

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{\cos (x)}}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\cos (x)}$ como ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\cos^{1} (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$\cos (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ como $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ .

$\cos (x) = (2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x) - 1) - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Etapa 2.3.1.3.1.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) = 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) + 1$

Etapa 2.3.1.3.2

Subtraia $2 \cos (x)$ de $- 2 \cos (x)$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $4 \cos^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 4 \cos (x) + 1$

Etapa 3.1.2

Some $4 \cos (x)$ aos dois lados da equação.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) = 1$

Etapa 3.1.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Some $\cos (x)$ e $4 \cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1$ .

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Etapa 3.3.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (x)$ .

$5 u - 4 u^{2} - 1 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.2.1

Reordene os termos.

$- 4 u^{2} + 5 u - 1 = 0$

Etapa 3.3.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Fatore $5$ de $5 u$ .

$- 4 u^{2} + 5 (u) - 1 = 0$

Etapa 3.3.2.2.2

Reescreva $5$ como $1$ mais $4$

$- 4 u^{2} + (1 + 4) u - 1 = 0$

Etapa 3.3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 u^{2} + 1 u + 4 u - 1 = 0$

Etapa 3.3.2.2.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$- 4 u^{2} + u + 4 u - 1 = 0$

Etapa 3.3.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(- 4 u^{2} + u) + 4 u - 1 = 0$

Etapa 3.3.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (- 4 u + 1) - (- 4 u + 1) = 0$

Etapa 3.3.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 4 u + 1$ .

$(- 4 u + 1) (u - 1) = 0$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3.5

Defina $- 4 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $- 4 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $- 4 \cos (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 4 \cos (x) = - 1$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $- 4 \cos (x) = - 1$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 4 \cos (x) = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 3.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Etapa 3.5.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Etapa 3.5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.4.1

Avalie $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Etapa 3.5.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Etapa 3.5.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 3.5.2.6.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Etapa 3.5.2.6.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

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Etapa 3.5.2.6.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Etapa 3.5.2.6.2.2

Subtraia $1.31811607$ de $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Etapa 3.5.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.5.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.5.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.6

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $\cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cos (x) = 1$

Etapa 3.6.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 3.6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.2.3.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.6.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 3.6.2.5

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 3.6.2.6

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.6.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.6.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.6.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.6.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.6.2.7

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Consolide $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ em $2 π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$ verdadeira.

$x = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$