Trigonometria Exemplos

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 1

Substitua $\cos^{2} (x)$ por $1 - \sin^{2} (x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{3} (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3

Reordene o polinômio.

$\sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$

Etapa 4

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$\sqrt{3} (- {(u)}^{2}) - 2 u + \sqrt{3} = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = - \sqrt{3}$ , $b = - 2$ e $c = \sqrt{3}$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Etapa 7.1.3.1

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 7.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.4.5

Avalie o expoente.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.5

Multiplique $4$ por $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.6

Some $4$ e $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u = \frac{2 \pm 4}{2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$u = \frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$ .

$u = \frac{1 \pm 2}{- \sqrt{3}}$

Etapa 7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - (\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 7.6

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.6.1

Multiplique $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 7.6.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 7.6.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 7.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.6.5

Some $1$ e $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 7.6.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 7.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Etapa 7.6.6.5

Avalie o expoente.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Etapa 7.7

Reordene os fatores em $- \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$ .

$u = - \frac{\sqrt{3} (1 \pm 2)}{3}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 9

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \sqrt{3}$ .

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Etapa 11.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \sqrt{3}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 12

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 12.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Etapa 12.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Etapa 12.4

Resolva $x$ .

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Etapa 12.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

Etapa 12.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Etapa 12.4.3

Subtraia $0.6154797$ de $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$