Trigonometria Exemplos

$\sin (2 x) = \cos (2 x) + 1$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $\cos (2 x)$ dos dois lados da equação.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) = 1$

Etapa 1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Etapa 2.1.1.2

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Etapa 2.1.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Etapa 2.1.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 2.1.2

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 2$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.2.4

Fatore $- 2$ de $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3.2

Fatore $2 \cos (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 5

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $\sin (x) - \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $\sin (x) - \cos (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\sin (x) - \cos (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.3.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.4

Separe as frações.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 6.2.6

Divida $0$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Etapa 6.2.7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Etapa 6.2.8

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\tan (x) = 1$

Etapa 6.2.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 6.2.10

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.11

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.12

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.12.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.12.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.12.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.12.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 6.2.12.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.12.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 6.2.12.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 6.2.13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.2.13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 6.2.13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6.2.14

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

Consolide $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$