Trigonometria Exemplos

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Etapa 4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 5.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Multiplique $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 5.3.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 6.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.1

Some $π$ com $- \frac{π}{12}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Etapa 7.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 7.3

Combine frações.

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Etapa 7.3.1

Combine $π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Mova $12$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Etapa 7.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Etapa 7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{12}$

Etapa 8

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$