Trigonometria Exemplos

$y = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))$

Etapa 1

Reescreva a expressão como $6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) - 1$ .

$6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) - 1$

Etapa 2

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 6$

$b = \frac{2 π}{7}$

$c = \frac{10 π}{7}$

$d = - 1$

Etapa 3

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $6$

Etapa 4

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre o período de $6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.1.2

Substitua $b$ por $\frac{2 π}{7}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

Etapa 4.1.3

$\frac{2 π}{7}$ é aproximadamente $0.8975979$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

Etapa 4.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $2 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Etapa 4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$7$

Etapa 4.2

Encontre o período de $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.2

Substitua $b$ por $\frac{2 π}{7}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

Etapa 4.2.3

$\frac{2 π}{7}$ é aproximadamente $0.8975979$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

Etapa 4.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $2 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$7$

Etapa 4.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$7$

Etapa 5

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{\frac{10 π}{7}}{\frac{2 π}{7}}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $\frac{10 π}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $2 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $2 π$ de $10 π$ .

Mudança de fase: $\frac{2 π (5)}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{2 π \cdot 5}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $\frac{5}{7} \cdot 7$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{5}{7} \cdot 7$

Etapa 5.5.2

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $5$

Etapa 6

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $6$

Período: $7$

Mudança de fase: $5$ ( $5$ para a direita)

Deslocamento vertical: $- 1$

Etapa 7

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Encontre o ponto em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (5)}{7} - \frac{10 π}{7})$

Etapa 7.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (5) - 10 π}{7})$

Etapa 7.1.2.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{10 π - 10 π}{7})$

Etapa 7.1.2.1.3

Subtraia $10 π$ de $10 π$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{0}{7})$

Etapa 7.1.2.1.4

Divida $0$ por $7$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (0)$

Etapa 7.1.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cdot 1$

Etapa 7.1.2.1.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (5) = - 1 + 6$

Etapa 7.1.2.2

Some $- 1$ e $6$ .

$f (5) = 5$

Etapa 7.1.2.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 7.2

Encontre o ponto em $x = \frac{27}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{27}{4}$ na expressão.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{4})}{7} - \frac{10 π}{7})$

Etapa 7.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{4}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.2.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{27}{4}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.2.2.1.2.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{27}{2 (2)}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.2.2.1.2.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{2 \cdot 2}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.2.2.1.2.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π (\frac{27}{2}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Combine $π$ e $\frac{27}{2}$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{π \cdot 27}{2} - 10 π}{7})$

Etapa 7.2.2.1.2.3

Mova $27$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} - 10 π}{7})$

Etapa 7.2.2.1.3

Para escrever $- 10 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} - 10 π \cdot \frac{2}{2}}{7})$

Etapa 7.2.2.1.4

Combine $- 10 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} + \frac{- 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Etapa 7.2.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π - 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Etapa 7.2.2.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.6.1

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π - 20 π}{2}}{7})$

Etapa 7.2.2.1.6.2

Subtraia $20 π$ de $27 π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{7 π}{2}}{7})$

Etapa 7.2.2.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Etapa 7.2.2.1.8

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.8.1

Fatore $7$ de $7 π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Etapa 7.2.2.1.8.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Etapa 7.2.2.1.8.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 7.2.2.1.9

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cdot 0$

Etapa 7.2.2.1.10

Multiplique $6$ por $0$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 0$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 1$ e $0$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1$

Etapa 7.2.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 7.3

Encontre o ponto em $x = \frac{17}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{17}{2}$ na expressão.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2})}{7} - \frac{10 π}{7})$

Etapa 7.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.2.1.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.3.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.3.2.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π \cdot 17 - 10 π}{7})$

Etapa 7.3.2.1.2.2

Mova $17$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{17 π - 10 π}{7})$

Etapa 7.3.2.1.3

Subtraia $10 π$ de $17 π$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{7})$

Etapa 7.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{7})$

Etapa 7.3.2.1.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (π)$

Etapa 7.3.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- \cos (0))$

Etapa 7.3.2.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 7.3.2.1.7

Multiplique $6 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cdot - 1$

Etapa 7.3.2.1.7.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 - 6$

Etapa 7.3.2.2

Subtraia $6$ de $- 1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 7$

Etapa 7.3.2.3

A resposta final é $- 7$ .

$- 7$

Etapa 7.4

Encontre o ponto em $x = \frac{41}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{41}{4}$ na expressão.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{4})}{7} - \frac{10 π}{7})$

Etapa 7.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{4}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.4.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.2.1.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{41}{4}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.4.2.1.2.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{41}{2 (2)}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.4.2.1.2.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{2 \cdot 2}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.4.2.1.2.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π (\frac{41}{2}) - 10 π}{7})$

Etapa 7.4.2.1.2.2

Combine $π$ e $\frac{41}{2}$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{π \cdot 41}{2} - 10 π}{7})$

Etapa 7.4.2.1.2.3

Mova $41$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} - 10 π}{7})$

Etapa 7.4.2.1.3

Para escrever $- 10 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} - 10 π \cdot \frac{2}{2}}{7})$

Etapa 7.4.2.1.4

Combine $- 10 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} + \frac{- 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Etapa 7.4.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π - 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Etapa 7.4.2.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.6.1

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π - 20 π}{2}}{7})$

Etapa 7.4.2.1.6.2

Subtraia $20 π$ de $41 π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{21 π}{2}}{7})$

Etapa 7.4.2.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{21 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Etapa 7.4.2.1.8

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.8.1

Fatore $7$ de $21 π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Etapa 7.4.2.1.8.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Etapa 7.4.2.1.8.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{3 π}{2})$

Etapa 7.4.2.1.9

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 7.4.2.1.10

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cdot 0$

Etapa 7.4.2.1.11

Multiplique $6$ por $0$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 0$

Etapa 7.4.2.2

Some $- 1$ e $0$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1$

Etapa 7.4.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 7.5

Encontre o ponto em $x = 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (12)}{7} - \frac{10 π}{7})$

Etapa 7.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (12) - 10 π}{7})$

Etapa 7.5.2.1.2

Multiplique $12$ por $2$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{24 π - 10 π}{7})$

Etapa 7.5.2.1.3

Subtraia $10 π$ de $24 π$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{14 π}{7})$

Etapa 7.5.2.1.4

Cancele o fator comum de $14$ e $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.4.1

Fatore $7$ de $14 π$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7})$

Etapa 7.5.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.4.2.1

Fatore $7$ de $7$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7 (1)})$

Etapa 7.5.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7 \cdot 1})$

Etapa 7.5.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{1})$

Etapa 7.5.2.1.4.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (2 π)$

Etapa 7.5.2.1.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (0)$

Etapa 7.5.2.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cdot 1$

Etapa 7.5.2.1.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (12) = - 1 + 6$

Etapa 7.5.2.2

Some $- 1$ e $6$ .

$f (12) = 5$

Etapa 7.5.2.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 7.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 5 & 5 \\ \frac{27}{4} & - 1 \\ \frac{17}{2} & - 7 \\ \frac{41}{4} & - 1 \\ 12 & 5 \end{array}$

Etapa 8

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $6$

Período: $7$

Mudança de fase: $5$ ( $5$ para a direita)

Deslocamento vertical: $- 1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 5 & 5 \\ \frac{27}{4} & - 1 \\ \frac{17}{2} & - 7 \\ \frac{41}{4} & - 1 \\ 12 & 5 \end{array}$

Etapa 9