Trigonometria Exemplos

$\csc^{2} (75) - \tan^{2} (15)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\csc (75)$ é $- \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

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Etapa 1.1.1

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\csc^{2} (30 + 45) - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

${(\frac{\sec (30) \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.3

O valor exato de $\sec (30)$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\sec (45)$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\csc (30)$ é $2$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\csc (45)$ é $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.7

O valor exato de $\sec (30)$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.8

O valor exato de $\csc (45)$ é $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.9

O valor exato de $\csc (30)$ é $2$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.10

O valor exato de $\sec (45)$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11

Simplifique $\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$ .

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Etapa 1.1.11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.1.2

Combine $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ e $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.1.3

Combine $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ e $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.11.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.11.2.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2.5

Some $1$ e $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 1.1.11.2.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.11.2.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.2.6.5

Avalie o expoente.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.3

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2}$ .

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Etapa 1.1.11.2.3.1

Combine $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ e $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.3.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.11.2.5.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.1.11.2.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.2.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.5.6.5

Avalie o expoente.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.11.2.6.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.6.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.7

Para escrever $2 \sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.8

Combine $2 \sqrt{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.2.10

Multiplique $3$ por $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.11.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

${(\frac{\frac{4 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3 \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.11.5.1

Combine $\sqrt{2}$ e $\sqrt{6}$ em um único radical.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.2

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 1.1.11.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.11.5.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.3

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

${(\frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.5

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.5.6.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6.5

Some $1$ e $1$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.5.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.5.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.6.6.5

Avalie o expoente.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.5.7

Combine $8$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

${(\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.7

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.7.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.7.2

Reescreva a expressão.

${(8 \sqrt{3} \frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.8

Combine $\frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ e $8$ .

${(\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}} \sqrt{3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.9

Combine $\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ e $\sqrt{3}$ .

${(\frac{8 \sqrt{3}}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.10

Cancele o fator comum de $8$ e $2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.10.1

Fatore $2$ de $8 \sqrt{3}$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.10.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{6}$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.10.2.2

Fatore $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.10.2.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.10.2.4

Cancele o fator comum.

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.10.2.5

Reescreva a expressão.

${(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.11

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ .

${(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.12

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ .

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.13

Expanda o denominador usando o método FOIL.

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - 9 {\sqrt{2}}^{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.14

Simplifique.

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 12})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.15

Cancele o fator comum de $4$ e $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.15.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})$ .

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{- 12})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.15.2.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.15.2.2

Cancele o fator comum.

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.15.2.3

Reescreva a expressão.

${(\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.16

Aplique a propriedade distributiva.

${(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.17

Combine usando a regra do produto para radicais.

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.18

Multiplique $\sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.18.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{3 \cdot 2}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.18.2

Multiplique $3$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.19

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.19.1

Multiplique $3$ por $6$ .

${(\frac{\sqrt{18} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.19.2

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.19.2.1

Fatore $9$ de $18$ .

${(\frac{\sqrt{9 (2)} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.19.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.19.3

Elimine os termos abaixo do radical.

${(\frac{3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.20

Cancele o fator comum de $3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}$ e $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.20.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{2}$ .

${(\frac{3 (\sqrt{2}) - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.20.2

Fatore $3$ de $- 3 \sqrt{6}$ .

${(\frac{3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.20.3

Fatore $3$ de $3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})$ .

${(\frac{3 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.20.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

${(- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6}))}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.21

Reescreva $- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ como $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

${(- (\sqrt{2} - \sqrt{6}))}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.22

Aplique a propriedade distributiva.

${(- \sqrt{2} - - \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.23

Multiplique $- - \sqrt{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.23.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

${(- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.1.11.23.2

Multiplique $\sqrt{6}$ por $1$ .

${(- \sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.2

Reescreva ${(- \sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ como $(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.3

Expanda $(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.1.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.1.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

${\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.1.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

${\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$2^{1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.2.5

Avalie o expoente.

$2 - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.3

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.3.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$2 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.3.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$2 - \sqrt{12} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$2 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.7

Multiplique $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.7.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.7.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.8

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.8.1

Fatore $4$ de $12$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.11

Combine usando a regra do produto para radicais.

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.12

Multiplique $6$ por $6$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{36} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.13

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.1.14

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 6 - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.2

Some $2$ e $6$ .

$8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.4.3

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (15)$

Etapa 1.5

O valor exato de $\tan (15)$ é $2 - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (45 - 30)$

Etapa 1.5.2

Separar negativação.

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (45 - (30))$

Etapa 1.5.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Etapa 1.5.4

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Etapa 1.5.5

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Etapa 1.5.6

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)})}^{2}$

Etapa 1.5.7

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Etapa 1.5.8

Simplifique $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.1.1

Multiplique $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Etapa 1.5.8.1.2

Combine.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Etapa 1.5.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Etapa 1.5.8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Etapa 1.5.8.3.2

Cancele o fator comum.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Etapa 1.5.8.3.3

Reescreva a expressão.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Etapa 1.5.8.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Etapa 1.5.8.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Etapa 1.5.8.5.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.5.2.1

Fatore $3$ de $3 \cdot 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Etapa 1.5.8.5.2.2

Cancele o fator comum.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Etapa 1.5.8.5.2.3

Reescreva a expressão.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

Etapa 1.5.8.6

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})}^{2}$

Etapa 1.5.8.7

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})}^{2}$

Etapa 1.5.8.8

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

Etapa 1.5.8.9

Simplifique.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.10.1

Eleve $3 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.10.2

Eleve $3 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.10.4

Some $1$ e $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.11

Reescreva ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.12

Expanda $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.13.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.4

Multiplique $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.13.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.13.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.13.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.1.5.5

Avalie o expoente.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.2

Some $9$ e $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.13.3

Subtraia $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.14

Cancele o fator comum de $12 - 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.14.1

Fatore $6$ de $12$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.14.2

Fatore $6$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.14.3

Fatore $6$ de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Etapa 1.5.8.14.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.14.4.1

Fatore $6$ de $6$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

Etapa 1.5.8.14.4.2

Cancele o fator comum.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

Etapa 1.5.8.14.4.3

Reescreva a expressão.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{2 - \sqrt{3}}{1})}^{2}$

Etapa 1.5.8.14.4.4

Divida $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 1.6

Reescreva ${(2 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - ((2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))$

Etapa 1.7

Expanda $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

Etapa 1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Etapa 1.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Etapa 1.8.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Etapa 1.8.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Etapa 1.8.1.4

Multiplique $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})$

Etapa 1.8.1.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})$

Etapa 1.8.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Etapa 1.8.1.4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Etapa 1.8.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})$

Etapa 1.8.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})$

Etapa 1.8.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Etapa 1.8.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Etapa 1.8.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

Etapa 1.8.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

Etapa 1.8.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{1})$

Etapa 1.8.1.5.5

Avalie o expoente.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3)$

Etapa 1.8.2

Some $4$ e $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3})$

Etapa 1.8.3

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (7 - 4 \sqrt{3})$

Etapa 1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - 4 \sqrt{3} - 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3})$

Etapa 1.10

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - 7 - (- 4 \sqrt{3})$

Etapa 1.11

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - 7 + 4 \sqrt{3}$

Etapa 2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Subtraia $7$ de $8$ .

$1 - 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}$

Etapa 2.2

Some $- 4 \sqrt{3}$ e $4 \sqrt{3}$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3

Some $1$ e $0$ .

$1$