Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (67.5) - \sin^{2} (67.5)$

Etapa 1

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 \cdot 67.5)$

Etapa 2

Multiplique $2$ por $67.5$ .

$\cos (135)$

Etapa 3

O valor exato de $\cos (135)$ é $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $135$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{270}{2})$

Etapa 3.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

Etapa 3.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$ .

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Etapa 3.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (90)}{2}}$

Etapa 3.4.2

O valor exato de $\cos (90)$ é $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 - 0}{2}}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

Etapa 3.4.4

Some $1$ e $0$ .

$- \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.4.5

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.4.6

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 3.4.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.8.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.4.8.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.4.8.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.4.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.8.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.8.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.4.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.4.8.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$- 0.70710678 \dots$