Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (60) + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (60)$ é $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{2} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2^{2}} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2^{2}} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$\frac{1}{4} + {(- \sec (30))}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.6

O valor exato de $\sec (30)$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.7

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.8.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 1.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.8.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.9.3

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.11

Multiplique $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.12.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.12.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 1.12.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.12.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.12.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.12.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.12.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.12.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{1}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.12.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.13

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3}{9} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.14

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{12}{9} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.15

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

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Etapa 1.15.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 (4)}{9} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.15.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.15.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.15.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.15.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + \csc^{2} (225)$

Etapa 1.16

Apply the reference angle by finding the angle with equivalent trig values in the first quadrant. Make the expression negative because cosecant is negative in the third quadrant.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- \csc (45))}^{2}$

Etapa 1.17

O valor exato de $\csc (45)$ é $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.18

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 1.19

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 1.20

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 1.21

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.21.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 1.21.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 1.21.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.21.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.21.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.21.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{1}$

Etapa 1.21.5

Avalie o expoente.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2$

Etapa 2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3} + 2$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 2$

Etapa 2.5

Escreva $2$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2}{1}$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Etapa 2.7

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Etapa 2.8

Reordene os fatores de $4 \cdot 3$ .

$\frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Etapa 2.9

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Etapa 2.10

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Etapa 3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 12}{12}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{3 + 16 + 2 \cdot 12}{12}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $12$ .

$\frac{3 + 16 + 24}{12}$

Etapa 5

Simplifique somando os números.

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Etapa 5.1

Some $3$ e $16$ .

$\frac{19 + 24}{12}$

Etapa 5.2

Some $19$ e $24$ .

$\frac{43}{12}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{43}{12}$

Forma decimal:

$3.58\overline{3}$

Forma de número misto:

$3 \frac{7}{12}$