Trigonometria Exemplos

$\frac{\cos (a)}{1 - \tan (a)} + \frac{\sin (a)}{1 - \cot (a)}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva $\tan (a)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (a)}{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}} + \frac{\sin (a)}{1 - \cot (a)}$

Etapa 1.2

Reescreva $\cot (a)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (a)}{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}} + \frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{\cos (a)}{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ .

$\frac{\cos (a)}{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} + \frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}$ .

$\frac{\cos (a)}{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} + \frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} \cdot \frac{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{\cos (a)}{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}$ por $\frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ .

$\frac{\cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})} + \frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} \cdot \frac{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ por $\frac{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}{1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}$ .

$\frac{\cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})} + \frac{\sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})$ .

$\frac{\cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})} + \frac{\sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) + \sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) + \sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.2

Multiplique $\cos (a)$ por $1$ .

$\frac{\cos (a) + \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) + \sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\cos (a) - \cos (a) \frac{\cos (a)}{\sin (a)} + \sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.4

Multiplique $- \cos (a) \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ .

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Etapa 6.4.1

Combine $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ e $\cos (a)$ .

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos (a) \cos (a)}{\sin (a)} + \sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.4.2

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a)} + \sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.4.3

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a)} + \sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (a) - \frac{{\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a)} + \sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)} + \sin (a) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)} + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.6

Multiplique $\sin (a)$ por $1$ .

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)} + \sin (a) + \sin (a) (- \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)} + \sin (a) - \sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.8

Multiplique $- \sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

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Etapa 6.8.1

Combine $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ e $\sin (a)$ .

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)} + \sin (a) - \frac{\sin (a) \sin (a)}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.8.2

Eleve $\sin (a)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)} + \sin (a) - \frac{\sin^{1} (a) \sin (a)}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.8.3

Eleve $\sin (a)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)} + \sin (a) - \frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)} + \sin (a) - \frac{{\sin (a)}^{1 + 1}}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 6.8.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)} + \sin (a) - \frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Fatore $\cos (a)$ de $\cos^{2} (a)$ .

$\frac{\cos (a) - \frac{\cos (a) \cos (a)}{\sin (a)} + \sin (a) - \frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 7.2

Separe as frações.

$\frac{\cos (a) - (\frac{\cos (a)}{1} \cdot \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) + \sin (a) - \frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 7.3

Converta de $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ em $\cot (a)$ .

$\frac{\cos (a) - (\frac{\cos (a)}{1} \cot (a)) + \sin (a) - \frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 7.4

Divida $\cos (a)$ por $1$ .

$\frac{\cos (a) - (\cos (a) \cot (a)) + \sin (a) - \frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 7.5

Fatore $\sin (a)$ de $\sin^{2} (a)$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a) \cot (a) + \sin (a) - \frac{\sin (a) \sin (a)}{\cos (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 7.6

Separe as frações.

$\frac{\cos (a) - \cos (a) \cot (a) + \sin (a) - (\frac{\sin (a)}{1} \cdot \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 7.7

Converta de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ em $\tan (a)$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a) \cot (a) + \sin (a) - (\frac{\sin (a)}{1} \tan (a))}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 7.8

Divida $\sin (a)$ por $1$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a) \cot (a) + \sin (a) - \sin (a) \tan (a)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 8

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1

Converta de $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ em $\cot (a)$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a) \cot (a) + \sin (a) - \sin (a) \tan (a)}{(1 - \cot (a)) (1 - \frac{\sin (a)}{\cos (a)})}$

Etapa 8.2

Converta de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ em $\tan (a)$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a) \cot (a) + \sin (a) - \sin (a) \tan (a)}{(1 - \cot (a)) (1 - \tan (a))}$