Trigonometria Exemplos

$\frac{3 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (x)$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e cuja soma é $b = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $4$ de $4 u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $4$ como $1$ mais $3$

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

Etapa 1.2.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u + 1$ .

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (x)$ .

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

Etapa 2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Etapa 2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 2.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $\cos (x) + 1$ e ${(\cos (x) + 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $\cos (x) + 1$ de $(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)$ .

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $\cos (x) + 1$ de ${(\cos (x) + 1)}^{2}$ .

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$