Trigonometria Exemplos

${(3 (\cos (20) + i \sin (20)))}^{4}$

Etapa 1

Aplique a propriedade distributiva.

${(3 \cos (20) + 3 (i \sin (20)))}^{4}$

Etapa 2

Use o teorema binomial.

${(3 \cos (20))}^{4} + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \cos (20)$ .

$3^{4} \cos^{4} (20) + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.3

Aplique a regra do produto a $3 \cos (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{3} \cos^{3} (20)) (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $3^{3}$ por $3$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Mova $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3 \cdot 3^{3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $3$ por $3^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{1} \cdot 3^{3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{1 + 3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.4.3

Some $1$ e $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{4} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.5

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (81 \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.6

Multiplique $81$ por $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.7

Aplique a regra do produto a $3 \cos (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 6 (3^{2} \cos^{2} (20)) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 6 (9 \cos^{2} (20)) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.9

Multiplique $9$ por $6$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.10

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.1

Aplique a regra do produto a $3 i \sin (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) ({(3 i)}^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.10.2

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (3^{2} i^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (9 i^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.12

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (9 \cdot - 1 \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.13

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (- 9 \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.14

Multiplique $- 9$ por $54$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.15

Multiplique $3$ por $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.16

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.16.1

Aplique a regra do produto a $3 i \sin (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) ({(3 i)}^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.16.2

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (3^{3} i^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.17

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 i^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.18

Fatore $i^{2}$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.19

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.20

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (- i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.21

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (- 27 i \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.22

Multiplique $- 27$ por $12$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) (i \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Etapa 3.1.23

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.23.1

Aplique a regra do produto a $3 i \sin (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + {(3 i)}^{4} \sin^{4} (20)$

Etapa 3.1.23.2

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 3^{4} i^{4} \sin^{4} (20)$

Etapa 3.1.24

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 i^{4} \sin^{4} (20)$

Etapa 3.1.25

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.25.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (20)$

Etapa 3.1.25.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 {(- 1)}^{2} \sin^{4} (20)$

Etapa 3.1.25.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \cdot 1 \sin^{4} (20)$

Etapa 3.1.26

Multiplique $81$ por $1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

Etapa 3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reordene os fatores em $81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

Etapa 3.2.2

Reordene $81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20)$ e $- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20)$ .

$- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

Etapa 3.2.3

Reordene $- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20)$ e $81 \sin^{4} (20)$ .

$81 \sin^{4} (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20)$