Trigonometria Exemplos

$\frac{\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sec (x)$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4

Expanda $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine os termos opostos em $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Etapa 5.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ e $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.1.2

Some $- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ e $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.1.3

Some $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ e $0$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2.1.5

Some $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 5.2.3.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2.3.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.3

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5.3.2

Combine.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6

Multiplique $- \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Etapa 6.1

Combine $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6.2

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{2 + 2}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6.2.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 8

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 9

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 10

Reescreva $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 11

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{1}{\sin (x)}$ e $b = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Etapa 12.1.2

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Etapa 12.1.3

Separe as frações.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Etapa 12.1.4

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Etapa 12.1.5

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Etapa 12.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 13

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 14

Simplifique os termos.

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Etapa 14.1

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

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Etapa 14.1.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 14.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Etapa 14.1.2.2

Cancele o fator comum.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Etapa 14.1.2.3

Reescreva a expressão.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x)}{1}$

Etapa 14.1.2.4

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \sin (x)$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\csc (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

Etapa 15

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.1

Reescreva $\csc (x) \sin (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

Etapa 15.2

Cancele os fatores comuns.

$1 + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$