Trigonometria Exemplos

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Reescreva $\sec^{4} (x)$ como ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Reescreva $\tan^{4} (x)$ como ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sec^{2} (x)$ e $b = \tan^{2} (x)$ .

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sec (x)$ e $b = \tan (x)$ .

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Etapa 2

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ .

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Etapa 2.2

Divida $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ por $1$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Etapa 3

Expanda $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Combine os termos opostos em $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Etapa 4.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\sec (x) (- \tan (x))$ e $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Etapa 4.1.2

Some $- \sec (x) \tan (x)$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

Etapa 4.1.3

Some $\sec (x) \sec (x)$ e $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\sec (x) \sec (x)$ .

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Etapa 4.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

Etapa 4.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Etapa 4.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Etapa 4.2.3.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Etapa 4.2.3.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Etapa 4.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

Etapa 4.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1$