Trigonometria Exemplos

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 2

Reescreva $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $b = \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 4.1.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 4.2.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Etapa 5

Expanda $(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) (\tan (x) - \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Combine os termos opostos em $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$ .

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Etapa 6.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\tan (x) (- \sec (x))$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Etapa 6.1.2

Some $- \sec (x) \tan (x)$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sec (x) (- \sec (x))$

Etapa 6.1.3

Some $\tan (x) \tan (x)$ e $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\tan (x) \tan (x)$ .

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Etapa 6.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sec (x) (- \sec (x))$

Etapa 6.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Etapa 6.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\tan^{2} (x) - \sec (x) \sec (x)$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- \sec (x) \sec (x)$ .

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Etapa 6.2.3.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))$

Etapa 6.2.3.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))$

Etapa 6.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\tan^{2} (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}$

Etapa 6.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Etapa 6.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 6.3.1

Reordene $\tan^{2} (x)$ e $- \sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Etapa 6.3.2

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)$

Etapa 6.3.3

Fatore $- 1$ de $\tan^{2} (x)$ .

$- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$

Etapa 6.3.4

Fatore $- 1$ de $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$