Trigonometria Exemplos

${(3 (\cos (100) + i \sin (100)))}^{3}$

Etapa 1

Aplique a propriedade distributiva.

${(3 \cos (100) + 3 (i \sin (100)))}^{3}$

Etapa 2

Use o teorema binomial.

${(3 \cos (100))}^{3} + 3 {(3 \cos (100))}^{2} (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \cos (100)$ .

$3^{3} \cos^{3} (100) + 3 {(3 \cos (100))}^{2} (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3 {(3 \cos (100))}^{2} (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.3

Aplique a regra do produto a $3 \cos (100)$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3 (3^{2} \cos^{2} (100)) (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.4.1

Mova $3^{2}$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3^{2} \cdot 3 \cos^{2} (100) (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $3^{2}$ por $3$ .

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Etapa 3.1.4.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3^{2} \cdot 3^{1} \cos^{2} (100) (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$27 \cos^{3} (100) + 3^{2 + 1} \cos^{2} (100) (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.4.3

Some $2$ e $1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3^{3} \cos^{2} (100) (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.5

Multiplique $3^{3}$ por $3$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.5.1

Mova $3$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3 \cdot 3^{3} \cos^{2} (100) (i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $3$ por $3^{3}$ .

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Etapa 3.1.5.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3^{1} \cdot 3^{3} \cos^{2} (100) (i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$27 \cos^{3} (100) + 3^{1 + 3} \cos^{2} (100) (i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.5.3

Some $1$ e $3$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3^{4} \cos^{2} (100) (i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.6

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) (i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.8.1

Aplique a regra do produto a $3 i \sin (100)$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) ({(3 i)}^{2} \sin^{2} (100)) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.8.2

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) (3^{2} i^{2} \sin^{2} (100)) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) (9 i^{2} \sin^{2} (100)) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.10

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) (9 \cdot - 1 \sin^{2} (100)) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.11

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) (- 9 \sin^{2} (100)) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.12

Multiplique $- 9$ por $9$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Etapa 3.1.13

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.13.1

Aplique a regra do produto a $3 i \sin (100)$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + {(3 i)}^{3} \sin^{3} (100)$

Etapa 3.1.13.2

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 3^{3} i^{3} \sin^{3} (100)$

Etapa 3.1.14

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 27 i^{3} \sin^{3} (100)$

Etapa 3.1.15

Fatore $i^{2}$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 27 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (100)$

Etapa 3.1.16

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 27 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (100)$

Etapa 3.1.17

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 27 (- i) \sin^{3} (100)$

Etapa 3.1.18

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) - 27 i \sin^{3} (100)$

Etapa 3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1

Reordene os fatores em $27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) - 27 i \sin^{3} (100)$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 i \cos^{2} (100) \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) - 27 i \sin^{3} (100)$

Etapa 3.2.2

Reordene $27 \cos^{3} (100) + 81 i \cos^{2} (100) \sin (100)$ e $- 81 \cos (100) \sin^{2} (100)$ .

$- 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 27 \cos^{3} (100) + 81 i \cos^{2} (100) \sin (100) - 27 i \sin^{3} (100)$