Trigonometria Exemplos

${(3 (\cos (48) + i \sin (48)))}^{5}$

Etapa 1

Aplique a propriedade distributiva.

${(3 \cos (48) + 3 (i \sin (48)))}^{5}$

Etapa 2

Use o teorema binomial.

${(3 \cos (48))}^{5} + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \cos (48)$ .

$3^{5} \cos^{5} (48) + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.3

Aplique a regra do produto a $3 \cos (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{4} \cos^{4} (48)) (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $3^{4}$ por $3$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.4.1

Mova $3$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3 \cdot 3^{4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $3$ por $3^{4}$ .

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Etapa 3.1.4.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{1} \cdot 3^{4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{1 + 4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.4.3

Some $1$ e $4$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{5} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.5

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (243 \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.6

Multiplique $243$ por $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.7

Aplique a regra do produto a $3 \cos (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 10 (3^{3} \cos^{3} (48)) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.8

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 10 (27 \cos^{3} (48)) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.9

Multiplique $27$ por $10$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.10

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.10.1

Aplique a regra do produto a $3 i \sin (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) ({(3 i)}^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.10.2

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (3^{2} i^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (9 i^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.12

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (9 \cdot - 1 \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.13

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (- 9 \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.14

Multiplique $- 9$ por $270$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.15

Aplique a regra do produto a $3 \cos (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 (3^{2} \cos^{2} (48)) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.16

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 (9 \cos^{2} (48)) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.17

Multiplique $9$ por $10$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.18

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.18.1

Aplique a regra do produto a $3 i \sin (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) ({(3 i)}^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.18.2

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (3^{3} i^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.19

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 i^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.20

Fatore $i^{2}$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.21

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.22

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (- i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.23

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (- 27 i \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.24

Multiplique $- 27$ por $90$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) (i \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.25

Multiplique $3$ por $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.26

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.26.1

Aplique a regra do produto a $3 i \sin (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) ({(3 i)}^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.26.2

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (3^{4} i^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.27

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 i^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.28

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

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Etapa 3.1.28.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.28.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 {(- 1)}^{2} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.28.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 \cdot 1 \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.29

Multiplique $81$ por $1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.30

Multiplique $81$ por $15$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Etapa 3.1.31

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.31.1

Aplique a regra do produto a $3 i \sin (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + {(3 i)}^{5} \sin^{5} (48)$

Etapa 3.1.31.2

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 3^{5} i^{5} \sin^{5} (48)$

Etapa 3.1.32

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i^{5} \sin^{5} (48)$

Etapa 3.1.33

Fatore $i^{4}$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 (i^{4} i) \sin^{5} (48)$

Etapa 3.1.34

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

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Etapa 3.1.34.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 ({(i^{2})}^{2} i) \sin^{5} (48)$

Etapa 3.1.34.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 ({(- 1)}^{2} i) \sin^{5} (48)$

Etapa 3.1.34.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 (1 i) \sin^{5} (48)$

Etapa 3.1.35

Multiplique $i$ por $1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

Etapa 3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1

Reordene os fatores em $243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

Etapa 3.2.2

Reordene $243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48)$ e $- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48)$ .

$- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

Etapa 3.2.3

Reordene $- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48)$ e $1215 \cos (48) \sin^{4} (48)$ .

$1215 \cos (48) \sin^{4} (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$