Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Etapa 3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = - π$

Etapa 4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = 3 π$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 6.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 6.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 7

Some $4 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.1

Some $4 π$ com $- π$ para encontrar o ângulo positivo.

$- π + 4 π$

Etapa 7.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$3 π$

Etapa 7.3

Liste os novos ângulos.

$x = 3 π$

Etapa 8

O período da função $\sin (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$x = 3 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$