Trigonometria Exemplos

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{6}$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{π}{6} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2

Para escrever $\frac{π}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.3

Para escrever $- \frac{π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π \cdot 3}{12}$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π \cdot 3}{12}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 π - 3 π}{12}$

Etapa 3.6.3

Subtraia $3 π$ de $2 π$ .

$x = \frac{- π}{12}$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{π}{12}$

Etapa 4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{6}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x + \frac{π}{4} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.1.2

Combine frações.

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Etapa 5.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 5.1.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.2

Para escrever $\frac{5 π}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.3

Para escrever $- \frac{π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.2.4.1

Multiplique $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.2.4.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.2.4.3

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Etapa 5.2.4.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Etapa 5.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{5 π \cdot 2 - π \cdot 3}{12}$

Etapa 5.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.6.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{10 π - π \cdot 3}{12}$

Etapa 5.2.6.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x = \frac{10 π - 3 π}{12}$

Etapa 5.2.6.3

Subtraia $3 π$ de $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{12}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{12} + 2 π$

Etapa 7.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 7.3

Combine frações.

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Etapa 7.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 12 - π}{12}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$\frac{24 π - π}{12}$

Etapa 7.4.2

Subtraia $π$ de $24 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Etapa 7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{23 π}{12}$

Etapa 8

O período da função $\sin (x + \frac{π}{4})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{23 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$