Trigonometria Exemplos

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Divida cada termo em $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ por $\csc (\frac{x}{2})$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ por $\csc (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $\csc (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $\csc (\frac{x}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}$ .

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Etapa 1.3.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.3.1

Eleve $\sin (\frac{x}{2})$ à potência de $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $\sin (\frac{x}{2})$ à potência de $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin^{1} (\frac{x}{2})$

Etapa 1.3.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = {\sin (\frac{x}{2})}^{1 + 1}$

Etapa 1.3.3.4

Some $1$ e $1$ .

$1 = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Etapa 2

Reescreva a equação como $\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$

Etapa 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm 1$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1, - 1$

Etapa 6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\sin (\frac{x}{2}) = 1$ .

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Etapa 7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 7.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = π$

Etapa 7.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

Etapa 7.5

Resolva $x$ .

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Etapa 7.5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Etapa 7.5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Etapa 7.5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

Etapa 7.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.5.2.2.1

Simplifique $2 (π - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 7.5.2.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 7.5.2.2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 7.5.2.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 7.5.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 7.5.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.2.2.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 7.5.2.2.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$x = π \cdot 2 - π$

Etapa 7.5.2.2.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = 2 π - π$

Etapa 7.5.2.2.1.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 7.6

Encontre o período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 7.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.6.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 7.6.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 7.6.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 7.7

O período da função $\sin (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\sin (\frac{x}{2}) = - 1$ .

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Etapa 8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Etapa 8.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = - π$

Etapa 8.4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 8.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 8.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 8.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8.5.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = 3 π$

Etapa 8.6

Encontre o período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 8.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.6.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 8.6.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 8.6.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 8.7

Some $4 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 8.7.1

Some $4 π$ com $- π$ para encontrar o ângulo positivo.

$- π + 4 π$

Etapa 8.7.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$3 π$

Etapa 8.7.3

Liste os novos ângulos.

$x = 3 π$

Etapa 8.8

O período da função $\sin (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Liste todas as soluções.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as respostas.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$