Trigonometria Exemplos

$\cos (2 x) = 3 \sin (x)$

Etapa 1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x)$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x) - 1$

Etapa 3

Subtraia $3 \sin (x)$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) = - 1$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u = - 1$

Etapa 4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- 2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = - 2$ , $b = - 3$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 4.5.1.3

Some $9$ e $8$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{- 4}$

Etapa 4.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Etapa 4.7

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Etapa 4.8

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Etapa 4.9

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

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Etapa 4.9.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 4.10

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

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Etapa 4.10.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Etapa 4.10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.10.2.1

Avalie $\arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.28460296$

Etapa 4.10.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$

Etapa 4.10.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 4.10.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265 - 2 π$

Etapa 4.10.4.2

O ângulo resultante de $2.85698969$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2.85698969$

Etapa 4.10.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.10.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.11

Liste todas as soluções.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$