Trigonometria Exemplos

$\cot (2 θ - \frac{π}{2}) = 1$

Etapa 1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cotangente.

$2 θ - \frac{π}{2} = arccot (1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $arccot (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $θ$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Etapa 3.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 θ = \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$2 θ = \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Etapa 3.5.2

Some $π$ e $2 π$ .

$2 θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 θ = \frac{3 π}{4}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 θ = \frac{3 π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$θ = \frac{3 π}{8}$

Etapa 5

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 θ - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

Etapa 6

Resolva $θ$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 6.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.1.2

Combine frações.

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Etapa 6.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 6.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 6.1.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $θ$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.2.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 θ = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$2 θ = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

Etapa 6.2.5.2

Some $5 π$ e $2 π$ .

$2 θ = \frac{7 π}{4}$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $2 θ = \frac{7 π}{4}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $2 θ = \frac{7 π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.3.2

Multiplique $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.3.3.2.1

Multiplique $\frac{7 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Etapa 6.3.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$θ = \frac{7 π}{8}$

Etapa 7

Encontre o período de $\cot (2 θ - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 2 |}$

Etapa 7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 8

O período da função $\cot (2 θ - \frac{π}{2})$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$θ = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$