Trigonometria Exemplos

$y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Etapa 1

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = - \frac{3}{2}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = 0$

$d = 0$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $\frac{3}{2}$

Etapa 3

Encontre o período de $- \frac{3 \cos (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

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Etapa 3.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2

Substitua $b$ por $\frac{3}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Etapa 3.3

$\frac{3}{2}$ é aproximadamente $1.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{3}$

Etapa 3.5

Multiplique $2 π \frac{2}{3}$ .

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Etapa 3.5.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Etapa 3.5.3

Combine $\frac{4}{3}$ e $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{0}{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $0 (\frac{2}{3})$

Etapa 4.4

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

Mudança de fase: $0$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $\frac{3}{2}$

Período: $\frac{4 π}{3}$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = 0$ .

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Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{3 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{2}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.1.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $2$ de $3 (0)$ .

$f (0) = - \frac{3 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{2}$

Etapa 6.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (0) = - \frac{3 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{2}$

Etapa 6.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (0) = - \frac{3 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{2}$

Etapa 6.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (0) = - \frac{3 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{2}$

Etapa 6.1.2.1.2.4

Divida $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$f (0) = - \frac{3 \cos (3 \cdot (0))}{2}$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = - \frac{3 \cos (0)}{2}$

Etapa 6.1.2.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = - \frac{3 \cdot 1}{2}$

Etapa 6.1.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2}$

Etapa 6.1.2.4

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{3 (\frac{π}{3})}{2})}{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Combine $3$ e $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{3 π}{3}}{2})}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Reduza a expressão $\frac{3 π}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{3 π}{3}}{2})}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{π}{1}}{2})}{2}$

Etapa 6.2.2.2.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{2}$

Etapa 6.2.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{3 \cdot 0}{2}$

Etapa 6.2.2.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{0}{2}$

Etapa 6.2.2.5

Divida $0$ por $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 0$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (\frac{π}{3}) = 0$

Etapa 6.2.2.7

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{2}$

Etapa 6.3.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{2}$

Etapa 6.3.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.3.2.3.1

Reduza a expressão $\frac{6 π}{3}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.3.2.3.1.1

Fatore $3$ de $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{2}$

Etapa 6.3.2.3.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{2}$

Etapa 6.3.2.3.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{2}$

Etapa 6.3.2.3.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{2}$

Etapa 6.3.2.3.2

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Etapa 6.3.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.2.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.4.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Etapa 6.3.2.4.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cos (π)}{2}$

Etapa 6.3.2.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 (- \cos (0))}{2}$

Etapa 6.3.2.4.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Etapa 6.3.2.4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Etapa 6.3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.2.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{- 3}{2}$

Etapa 6.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}$

Etapa 6.3.2.6

A resposta final é $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = π$ .

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Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = - \frac{3 \cos (\frac{3 (π)}{2})}{2}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (π) = - \frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{2}$

Etapa 6.4.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (π) = - \frac{3 \cdot 0}{2}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (π) = - \frac{0}{2}$

Etapa 6.4.2.2.2

Divida $0$ por $2$ .

$f (π) = - 0$

Etapa 6.4.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (π) = 0$

Etapa 6.4.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{3 (\frac{4 π}{3})}{2})}{2}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Combine $3$ e $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{2})}{2}$

Etapa 6.5.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{2})}{2}$

Etapa 6.5.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Reduza a expressão $\frac{12 π}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1.1

Fatore $3$ de $12 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{2})}{2}$

Etapa 6.5.2.3.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{2})}{2}$

Etapa 6.5.2.3.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{2}$

Etapa 6.5.2.3.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{2})}{2}$

Etapa 6.5.2.3.2

Divida $4 π$ por $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{4 π}{2})}{2}$

Etapa 6.5.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.1.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2})}{2}$

Etapa 6.5.2.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})}{2}$

Etapa 6.5.2.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})}{2}$

Etapa 6.5.2.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (\frac{2 π}{1})}{2}$

Etapa 6.5.2.4.1.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (2 π)}{2}$

Etapa 6.5.2.4.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cos (0)}{2}$

Etapa 6.5.2.4.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \cdot 1}{2}$

Etapa 6.5.2.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2}$

Etapa 6.5.2.6

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{3}{2} \\ \frac{π}{3} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & \frac{3}{2} \\ π & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - \frac{3}{2} \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $\frac{3}{2}$

Período: $\frac{4 π}{3}$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{3}{2} \\ \frac{π}{3} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & \frac{3}{2} \\ π & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - \frac{3}{2} \end{array}$

Etapa 8