Trigonometria Exemplos

${(1 + i)}^{6}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $15$ por $1$ .

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.7

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.9

Multiplique $20$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.10

Fatore $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.11

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.12

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.13

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.14

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.15

Multiplique $15$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.16

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.16.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.16.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.16.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.17

Multiplique $15$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.18

Multiplique $6$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.19

Fatore $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

Etapa 2.1.20

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.20.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Etapa 2.1.20.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Etapa 2.1.20.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

Etapa 2.1.21

Multiplique $i$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

Etapa 2.1.22

Fatore $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

Etapa 2.1.23

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

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Etapa 2.1.23.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Etapa 2.1.23.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Etapa 2.1.23.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

Etapa 2.1.24

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

Etapa 2.1.25

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $15$ de $1$ .

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.2.2.1

Some $- 14$ e $15$ .

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

Etapa 2.2.2.3

Some $0$ e $6 i$ .

$6 i - 20 i + 6 i$

Etapa 2.2.3

Subtraia $20 i$ de $6 i$ .

$- 14 i + 6 i$

Etapa 2.2.4

Some $- 14 i$ e $6 i$ .

$- 8 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = 0$ e $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

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Etapa 6.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Etapa 6.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Etapa 6.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 8$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Etapa 8

Como o argumento é indefinido e $b$ é negativo, o ângulo do ponto no plano complexo é $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = \frac{3 π}{2}$ e $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$