Trigonometria Exemplos

$\tan^{2} (x) - 4 \sec (x) = 4$

Etapa 1

Substitua $\tan^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x) - 1$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) - 4 \sec (x) = 4$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$\sec^{2} (x) - 4 \sec (x) - 1 = 4$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\sec (x)$ .

${(u)}^{2} - 4 u - 1 = 4$

Etapa 4

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - 4 u - 1 - 4 = 0$

Etapa 5

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$u^{2} - 4 u - 5 = 0$

Etapa 6

Fatore $u^{2} - 4 u - 5$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 5, 1$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 5) (u + 1) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 8

Defina $u - 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.1

Defina $u - 5$ como igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Etapa 8.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$u = 5$

Etapa 9

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 5) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 5, - 1$

Etapa 11

Substitua $\sec (x)$ por $u$ .

$\sec (x) = 5, - 1$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = 5$

$\sec (x) = - 1$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\sec (x) = 5$ .

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Etapa 13.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (5)$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

Avalie $arcsec (5)$ .

$x = 1.3694384$

Etapa 13.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3694384$

Etapa 13.4

Resolva $x$ .

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Etapa 13.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3694384$

Etapa 13.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 1.3694384$ .

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Etapa 13.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.3694384$

Etapa 13.4.2.2

Subtraia $1.3694384$ de $6.2831853$ .

$x = 4.9137469$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.3694384 + 2 π n, 4.9137469 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\sec (x) = - 1$ .

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Etapa 14.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- 1)$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $arcsec (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 14.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 14.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = 1.3694384 + 2 π n, 4.9137469 + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$