Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) = - 2$

Etapa 1

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) = - 2$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = - 2$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = - 2$

Etapa 4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- u^{2} + 2 u + 1 + 2 = 0$

Etapa 5

Some $1$ e $2$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Etapa 6

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} + 2 u + 3$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Etapa 6.1.2

Fatore $- 1$ de $2 u$ .

$- u^{2} - (- 2 u) + 3 = 0$

Etapa 6.1.3

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 6.1.4

Fatore $- 1$ de $- u^{2} - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 6.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Etapa 6.2

Fatore.

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Etapa 6.2.1

Fatore $u^{2} - 2 u - 3$ usando o método AC.

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Etapa 6.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 6.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Etapa 6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 8

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 8.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 9

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $- (u - 3) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 3, - 1$

Etapa 11

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = 3, - 1$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = 3$

$\cos (x) = - 1$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\cos (x) = 3$ .

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Etapa 13.1

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $3$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 14

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 1$ .

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Etapa 14.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 14.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 14.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$