Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

Etapa 1

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$- \cos^{2} (x) + 1 = 2 \cos (x) + 2$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 2 (u) + 2$

Etapa 4

Subtraia $2 u$ dos dois lados da equação.

$- u^{2} + 1 - 2 u = 2$

Etapa 5

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- u^{2} + 1 - 2 u - 2 = 0$

Etapa 6

Subtraia $2$ de $1$ .

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Etapa 7

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} - 2 u - 1$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $- 1$ de $- 2 u$ .

$- u^{2} - (2 u) - 1 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- u^{2} - (2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore $- 1$ de $- u^{2} - (2 u)$ .

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} + 2 u) - 1 (1)$ .

$- (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Etapa 7.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Etapa 7.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 7.2.3

Reescreva o polinômio.

$- (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 7.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$- {(u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 8

Divida cada termo em $- {(u + 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $- {(u + 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 8.2.2

Divida ${(u + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 9

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 10

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 11

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - 1$

Etapa 12

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 14

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 15

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 16

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 16.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 17

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$