Trigonometria Exemplos

$\cot^{2} (x) + 4 \csc (x) = - 5$

Etapa 1

Substitua $\cot^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x) - 1$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 4 \csc (x) = - 5$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$\csc^{2} (x) + 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = - 5$

Etapa 4

Some $5$ aos dois lados da equação.

$u^{2} + 4 u - 1 + 5 = 0$

Etapa 5

Some $- 1$ e $5$ .

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

Etapa 6

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Etapa 6.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Etapa 6.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Etapa 6.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Etapa 7

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 8

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 9

Substitua $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = - 2$

Etapa 10

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- 2)$

Etapa 11

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.1

O valor exato de $arccsc (- 2)$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 12

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 13

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 13.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 13.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 14

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 14.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 15

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 15.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 15.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 15.3

Combine frações.

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Etapa 15.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 15.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 15.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 15.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 15.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 16

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$