Trigonometria Exemplos

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Etapa 1

Substitua $\cot^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x) - 1$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Etapa 2

Substitua $u$ por $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Combine $u$ e $\frac{5}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

Etapa 3.2

Mova $5$ para a esquerda de $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

Etapa 4

Some $\frac{5 u}{2}$ aos dois lados da equação.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

Etapa 5

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 5.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

Etapa 5.2

Some $- 1$ e $2$ .

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

Etapa 6

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

Etapa 7

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 8

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 5$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.1.3

Subtraia $16$ de $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.1.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

Etapa 10

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 11

Substitua $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 13.1

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $- \frac{1}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 14

Resolva $x$ em $\csc (x) = - 2$ .

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Etapa 14.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- 2)$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $arccsc (- 2)$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 14.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 14.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 14.4.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 14.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 14.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 14.6.3

Combine frações.

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Etapa 14.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 14.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 14.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.6.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 14.6.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 14.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 14.7

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$