Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (x) = 3 (1 - \sin (x))$

Etapa 1

Substitua $\cos^{2} (x)$ por $1 - \sin^{2} (x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \sin^{2} (x) = 3 (1 - \sin (x))$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$- \sin^{2} (x) + 1 = 3 (1 - \sin (x))$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 3 (1 - (u))$

Etapa 4

Simplifique $3 (1 - u)$ .

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Etapa 4.1

Reescreva.

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 3 (1 - u)$

Etapa 4.2

Simplifique somando os zeros.

$- u^{2} + 1 = 3 (1 - u)$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- u^{2} + 1 = 3 \cdot 1 + 3 (- u)$

Etapa 4.4

Multiplique.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$- u^{2} + 1 = 3 + 3 (- u)$

Etapa 4.4.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- u^{2} + 1 = 3 - 3 u$

Etapa 5

Some $3 u$ aos dois lados da equação.

$- u^{2} + 1 + 3 u = 3$

Etapa 6

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- u^{2} + 1 + 3 u - 3 = 0$

Etapa 7

Subtraia $3$ de $1$ .

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} + 3 u - 2$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore $- 1$ de $3 u$ .

$- u^{2} - (- 3 u) - 2 = 0$

Etapa 8.1.3

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$- u^{2} - (- 3 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Etapa 8.1.4

Fatore $- 1$ de $- u^{2} - (- 3 u)$ .

$- (u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Etapa 8.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} - 3 u) - 1 (2)$ .

$- (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

Etapa 8.2

Fatore.

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Etapa 8.2.1

Fatore $u^{2} - 3 u + 2$ usando o método AC.

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Etapa 8.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 8.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (u - 2) (u - 1) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 10

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 10.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 10.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 11

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 11.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 11.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $- (u - 2) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 2, 1$

Etapa 13

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = 2, 1$

Etapa 14

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = 2$

$\sin (x) = 1$

Etapa 15

Resolva $x$ em $\sin (x) = 2$ .

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Etapa 15.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $2$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 16

Resolva $x$ em $\sin (x) = 1$ .

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Etapa 16.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 16.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.2.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 16.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 16.4

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 16.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 16.4.2

Combine frações.

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Etapa 16.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 16.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 16.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 16.4.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 16.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 16.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 16.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 16.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 16.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 16.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 17

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$