Trigonometria Exemplos

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = - \sqrt{2} \sin (x)$

Etapa 1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2

Separe as frações.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4

Divida $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 5

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6

Separe as frações.

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \tan (x)$

Etapa 8

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$\tan (x) \sec (x) = - \sqrt{2} \tan (x)$

Etapa 9

Some $\sqrt{2} \tan (x)$ aos dois lados da equação.

$\tan (x) \sec (x) + \sqrt{2} \tan (x) = 0$

Etapa 10

Fatore $\tan (x)$ de $\tan (x) \sec (x) + \sqrt{2} \tan (x)$ .

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Etapa 10.1

Fatore $\tan (x)$ de $\sqrt{2} \tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \sqrt{2} = 0$

Etapa 10.2

Fatore $\tan (x)$ de $\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \sqrt{2}$ .

$\tan (x) (\sec (x) + \sqrt{2}) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Etapa 12

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Etapa 12.2

Resolva $\tan (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 12.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 12.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 12.2.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 12.2.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 12.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 12.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 12.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 12.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 12.2.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Defina $\sec (x) + \sqrt{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $\sec (x) + \sqrt{2}$ como igual a $0$ .

$\sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Etapa 13.2

Resolva $\sec (x) + \sqrt{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 13.2.1

Subtraia $\sqrt{2}$ dos dois lados da equação.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 13.2.2

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Etapa 13.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.3.1

O valor exato de $arcsec (- \sqrt{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 13.2.4

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 13.2.5

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 13.2.5.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 13.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 13.2.5.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 13.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 13.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.5.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 13.2.5.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 13.2.6

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 13.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.2.7

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $\tan (x) (\sec (x) + \sqrt{2}) = 0$ verdadeiro.

$x = π n, π + π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Consolide $π n$ e $π + π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$