Trigonometria Exemplos

$12 \sin^{2} (x) - 6 \sin (x) = 4$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$12 {(u)}^{2} - 6 u = 4$

Etapa 2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$12 u^{2} - 6 u - 4 = 0$

Etapa 3

Fatore $2$ de $12 u^{2} - 6 u - 4$ .

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Etapa 3.1

Fatore $2$ de $12 u^{2}$ .

$2 (6 u^{2}) - 6 u - 4 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $2$ de $- 6 u$ .

$2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u) - 4 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $2$ de $- 4$ .

$2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 (- 2) = 0$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u)$ .

$2 (6 u^{2} - 3 u) + 2 (- 2) = 0$

Etapa 3.5

Fatore $2$ de $2 (6 u^{2} - 3 u) + 2 (- 2)$ .

$2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (6 u^{2} - 3 u - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (6 u^{2} - 3 u - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $6 u^{2} - 3 u - 2$ por $1$ .

$6 u^{2} - 3 u - 2 = \frac{0}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$6 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = 6$ , $b = - 3$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 2)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 6 \cdot - 2$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 24 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 24$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2 \cdot 6}$

Etapa 7.1.3

Some $9$ e $48$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 6}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{12}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}, \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Etapa 9

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}, \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}$

$\sin (x) = \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}$ .

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Etapa 11.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{3 + \sqrt{57}}{12})$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{3 + \sqrt{57}}{12})$ .

$x = 1.0740816$

Etapa 11.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 1.0740816$

Etapa 11.4

Resolva $x$ .

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Etapa 11.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 1.0740816$

Etapa 11.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 1.0740816$

Etapa 11.4.3

Subtraia $1.0740816$ de $3.14159265$ .

$x = 2.06751104$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.0740816 + 2 π n, 2.06751104 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$ .

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Etapa 12.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{57}}{12})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{57}}{12})$ .

$x = - 0.38888063$

Etapa 12.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.38888063$

Etapa 12.4

Resolva $x$ .

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Etapa 12.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.38888063$

Etapa 12.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.38888063$

Etapa 12.4.3

Some $3.14159265$ e $0.38888063$ .

$x = 3.53047329$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 12.6.1

Some $2 π$ com $- 0.38888063$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.38888063 + 2 π$

Etapa 12.6.2

Subtraia $0.38888063$ de $2 π$ .

$5.89430466$

Etapa 12.6.3

Liste os novos ângulos.

$x = 5.89430466$

Etapa 12.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.53047329 + 2 π n, 5.89430466 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = 1.0740816 + 2 π n, 2.06751104 + 2 π n, 3.53047329 + 2 π n, 5.89430466 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$