Trigonometria Exemplos

$4 (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{4 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2

Substitua $\cos (x)$ por uma expressão equivalente no numerador.

$4 (1 + \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4

Multiplique $4$ por $1$ .

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 5

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (\frac{1}{\cos (x)}) + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7

Combine $4$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8

Multiplique $4 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $4$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.2

Combine $\frac{4}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1

Separe as frações.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9.3

Divida $4$ por $1$ .

$4 \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9.4

Separe as frações.

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9.5

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9.6

Divida $4$ por $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

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Etapa 10.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.1

Multiplique por $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Etapa 10.2.3

Reescreva a expressão.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1}$

Etapa 10.2.4

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Etapa 11

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$4 \frac{1}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Etapa 11.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Etapa 11.1.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Etapa 11.1.4

Combine $4$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Etapa 12

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cos (x)$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 14.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Etapa 14.2

Reescreva a expressão.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Etapa 15

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Etapa 15.2

Reescreva a expressão.

$4 + 4 \sin (x) = \cos (x) \cos (x)$

Etapa 16

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 16.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos (x)$

Etapa 16.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Etapa 16.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 + 4 \sin (x) = {\cos (x)}^{1 + 1}$

Etapa 16.4

Some $1$ e $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

Etapa 17

Subtraia $\cos^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$4 + 4 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 18

Substitua $\cos^{2} (x)$ por $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 + 4 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 19

Resolva $x$ .

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Etapa 19.1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$4 + 4 (u) - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Etapa 19.2

Simplifique $4 + 4 u - (1 - u^{2})$ .

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Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 + 4 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Etapa 19.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 + 4 u - 1 - - u^{2} = 0$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique $- - u^{2}$ .

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Etapa 19.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 + 4 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Etapa 19.2.1.3.2

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$4 + 4 u - 1 + u^{2} = 0$

Etapa 19.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$4 u + 3 + u^{2} = 0$

Etapa 19.3

Fatore $4 u + 3 + u^{2}$ usando o método AC.

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Etapa 19.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 19.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u + 1) (u + 3) = 0$

Etapa 19.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Etapa 19.5

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 19.5.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 19.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 19.6

Defina $u + 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 19.6.1

Defina $u + 3$ como igual a $0$ .

$u + 3 = 0$

Etapa 19.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$u = - 3$

Etapa 19.7

A solução final são todos os valores que tornam $(u + 1) (u + 3) = 0$ verdadeiro.

$u = - 1, - 3$

Etapa 19.8

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - 1, - 3$

Etapa 19.9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = - 3$

Etapa 19.10

Resolva $x$ em $\sin (x) = - 1$ .

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Etapa 19.10.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 19.10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 19.10.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 19.10.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 19.10.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 19.10.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 19.10.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 19.10.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 19.10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 19.10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 19.10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 19.10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 19.10.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 19.10.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 19.10.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 19.10.6.3

Combine frações.

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Etapa 19.10.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 19.10.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 19.10.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 19.10.6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 19.10.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 19.10.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 19.10.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 19.11

Resolva $x$ em $\sin (x) = - 3$ .

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Etapa 19.11.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 3$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 19.12

Liste todas as soluções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 19.13

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$