Trigonometria Exemplos

$(1 - \tan (x)) (1 + \sin (2 x)) = 1 + \tan (x)$

Etapa 1

Simplifique $(1 - \tan (x)) (1 + \sin (2 x))$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 + \sin (2 x)) = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.2

Expanda $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 + \sin (2 x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 + \sin (2 x)) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 + \sin (2 x)) = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 + \sin (2 x)) = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (2 x) = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (2 x) = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $\sin (2 x)$ por $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (2 x) = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (2 x) = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.4

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.1.5.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.5.2

Combine expoentes.

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Etapa 1.3.1.5.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.5.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.6

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.6.2

Divida $2 \sin^{2} (x)$ por $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - (2 \sin^{2} (x)) = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.1.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 2 \sin^{2} (x) = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.3.2

Mova $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.4

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Etapa 1.5

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) - \tan (x) = 1 + \tan (x)$

Etapa 2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3