Trigonometria Exemplos

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$

Etapa 1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.2

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\frac{(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4

Substitua $\cos (x)$ por uma expressão equivalente no numerador.

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 5.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6

Expanda $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot (\cos (x) + 1) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot (\cos (x) + 1)) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot (\cos (x) + 1)) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Etapa 7.1.1.1

Combine $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$(\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.1.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.1.3

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.2

Subtraia $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{1}{\sin (x)}) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.3

Some $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ e $0$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.2

Reordene $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.4

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.6

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

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Etapa 10.1

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sin (x)}{1} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10.2.4

Divida $- \sin (x)$ por $1$ .

$- \sin (x) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 11

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \sin (x) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 13

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$- \tan (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 14

Separe as frações.

$- \tan (x) = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 15

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$- \tan (x) = \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x)$

Etapa 16

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \tan (x) = - \tan (x)$

Etapa 17

Mova todos os termos que contêm $\tan (x)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 17.1

Some $\tan (x)$ aos dois lados da equação.

$- \tan (x) + \tan (x) = 0$

Etapa 17.2

Some $- \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$0 = 0$

Etapa 18

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 19

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$