Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{3} \cdot \tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\tan (x)$ .

$\frac{1}{3} {(u)}^{3} - (u) = 0$

Etapa 2

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\frac{u^{3}}{3} - u = 0$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ por $3$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ por $3$ .

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$u^{3} - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$u^{3} - 3 u = 0 \cdot 3$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$u^{3} - 3 u = 0$

Etapa 4

Fatore $u$ de $u^{3} - 3 u$ .

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Etapa 4.1

Fatore $u$ de $u^{3}$ .

$u \cdot u^{2} - 3 u = 0$

Etapa 4.2

Fatore $u$ de $- 3 u$ .

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 3 = 0$

Etapa 4.3

Fatore $u$ de $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ .

$u (u^{2} - 3) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Etapa 6

Defina $u$ como igual a $0$ .

$u = 0$

Etapa 7

Defina $u^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 7.1

Defina $u^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $u^{2} - 3 = 0$ para $u$ .

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Etapa 7.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u^{2} = 3$

Etapa 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

Etapa 7.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = \sqrt{3}$

Etapa 7.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - \sqrt{3}$

Etapa 7.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $u (u^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 9

Substitua $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\tan (x) = 0$ .

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Etapa 11.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 11.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 11.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Etapa 12.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 12.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 12.4

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 12.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 12.4.2

Combine frações.

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Etapa 12.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 12.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 12.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 12.4.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 12.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Etapa 13.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $\arctan (- \sqrt{3})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 13.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Etapa 13.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 13.4.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Etapa 13.4.2

O ângulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 13.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 13.6.1

Some $π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Etapa 13.6.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 13.6.3

Combine frações.

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Etapa 13.6.3.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 13.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 13.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.6.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 13.6.4.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 13.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 13.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Liste todas as soluções.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$