Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{2} = \cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x)) = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x)) = \frac{1}{2}$

Etapa 2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{4}{3} \cdot (π x) = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $\frac{4}{3} \cdot (π x)$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{4}{3} (π x)$ .

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Etapa 3.1.1.1

Combine $π$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3} x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.1.2

Combine $\frac{π \cdot 4}{3}$ e $x$ .

$\frac{π \cdot 4 x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{3}$

Etapa 5

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$4 π x = π$

Etapa 6

Divida cada termo em $4 π x = π$ por $4 π$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $4 π x = π$ por $4 π$ .

$\frac{4 π x}{4 π} = \frac{π}{4 π}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 π x}{4 π} = \frac{π}{4 π}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{4 π}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{4 π}$

Etapa 6.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{4 π}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{π}{4 π}$

Etapa 6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 7

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 8.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1.1

Simplifique $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 8.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 8.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4 π$ .

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Etapa 8.2.1.1.2.1

Fatore $4 π$ de $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 8.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 8.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

Simplifique $\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Etapa 8.2.2.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Etapa 8.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 8.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 8.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{4 π} (2 π \cdot 3 - π)$

Etapa 8.2.2.1.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{1}{4 π} (6 π - π)$

Etapa 8.2.2.1.6

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{1}{4 π} (5 π)$

Etapa 8.2.2.1.7

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 8.2.2.1.7.1

Fatore $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (5 π)$

Etapa 8.2.2.1.7.2

Fatore $π$ de $5 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (π \cdot 5)$

Etapa 8.2.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (π \cdot 5)$

Etapa 8.2.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{4} \cdot 5$

Etapa 8.2.2.1.8

Combine $\frac{1}{4}$ e $5$ .

$x = \frac{5}{4}$

Etapa 9

Encontre o período de $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$ .

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Etapa 9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.2

Substitua $b$ por $\frac{4}{3} \cdot π$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} \cdot π |}$

Etapa 9.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $π$ .

$\frac{2 π}{| \frac{4 π}{3} |}$

Etapa 9.3.2

$\frac{4 π}{3}$ é aproximadamente $4.1887902$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{4 π}{3}}$

Etapa 9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{3}{4 π}$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $2 π$ .

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Etapa 9.5.1

Fatore $2 π$ de $4 π$ .

$2 π \frac{3}{2 π (2)}$

Etapa 9.5.2

Cancele o fator comum.

$2 π \frac{3}{2 π \cdot 2}$

Etapa 9.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2}$

Etapa 10

O período da função $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$ é $\frac{3}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{3}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{1}{4} + \frac{3 n}{2}, \frac{5}{4} + \frac{3 n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$