Trigonometria Exemplos

$\cos (22.5) = (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}}) = 2 \cos (22.5)$

Etapa 3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ .

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

Etapa 3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

Etapa 3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (22.5)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $2 \cos (22.5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

O valor exato de $\cos (22.5)$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Reescreva $22.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (\frac{45}{2})$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Etapa 3.2.1.1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Etapa 3.2.1.1.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 3.2.1.1.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 3.2.1.1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 3.2.1.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 3.2.1.1.5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.1.1.5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 3.2.1.1.5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 3.2.1.1.5.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 3.2.1.1.5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{A + \sqrt{B}}}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Etapa 5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ como ${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(A + \sqrt{B})}^{1} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique.

$A + \sqrt{B} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 + \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ como ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$A + \sqrt{B} = {({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 5.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 5.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{1}$

Etapa 5.3.1.5

Simplifique.

$A + \sqrt{B} = 2 + \sqrt{2}$

Etapa 6

Subtraia $A$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{B} = 2 + \sqrt{2} - A$

Etapa 7

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{B}}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Etapa 8

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{B}$ como $B^{\frac{1}{2}}$ .

${(B^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Etapa 8.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Etapa 8.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$B^{1} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Simplifique.

$B = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Reescreva ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ como $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ .

$B = (2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$

Etapa 8.3.1.2

Expanda $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$B = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Etapa 8.3.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Etapa 8.3.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Etapa 8.3.1.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Etapa 8.3.1.3.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Etapa 8.3.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Etapa 8.3.1.3.1.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Etapa 8.3.1.3.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Etapa 8.3.1.3.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - A (- A)$

Etapa 8.3.1.3.1.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A \cdot A$

Etapa 8.3.1.3.1.10

Multiplique $A$ por $A$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1.10.1

Mova $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (A \cdot A)$

Etapa 8.3.1.3.1.10.2

Multiplique $A$ por $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A^{2}$

Etapa 8.3.1.3.1.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + 1 A^{2}$

Etapa 8.3.1.3.1.12

Multiplique $A^{2}$ por $1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Etapa 8.3.1.3.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.2.1

Some $4$ e $2$ .

$B = 6 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Etapa 8.3.1.3.2.2

Some $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 2 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Etapa 8.3.1.3.2.3

Subtraia $2 A$ de $- 2 A$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \sqrt{2} + A^{2}$

Etapa 8.3.1.3.2.4

Reordene os fatores de $\sqrt{2} (- A)$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - A \sqrt{2} - A \sqrt{2} + A^{2}$

Etapa 8.3.1.3.2.5

Subtraia $A \sqrt{2}$ de $- A \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - 2 A \sqrt{2} + A^{2}$