Trigonometria Exemplos

$\log_{4} (n) = \frac{1}{4} \cdot \log_{4} (81) + \frac{1}{2} \cdot \log_{4} (25)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\log_{4} (81)$ .

$\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{1}{2} \log_{4} (25)$

Etapa 1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\log_{4} (25)$ .

$\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$ por $4$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$ por $4$ .

$\log_{4} (n) \cdot 4 = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Mova $4$ para a esquerda de $\log_{4} (n)$ .

$4 \log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$4 \log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot (2 (2))$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Etapa 2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \log_{4} (25) \cdot 2$

Etapa 2.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $\log_{4} (25)$ .

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $4 \log_{4} (n)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Simplifique $\log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Simplifique $2 \log_{4} (25)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + \log_{4} (25^{2})$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + \log_{4} (625)$

Etapa 4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81 \cdot 625)$

Etapa 4.1.3

Multiplique $81$ por $625$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (50625)$

Etapa 5

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$n^{4} = 50625$

Etapa 6

Resolva $n$ .

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Etapa 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \pm \sqrt[4]{50625}$

Etapa 6.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{50625}$ .

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Etapa 6.2.1

Reescreva $50625$ como $15^{4}$ .

$n = \pm \sqrt[4]{15^{4}}$

Etapa 6.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$n = \pm 15$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$n = 15$

Etapa 6.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$n = - 15$

Etapa 6.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$n = 15, - 15$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\log_{4} (n) = \frac{1}{4} \cdot \log_{4} (81) + \frac{1}{2} \cdot \log_{4} (25)$ verdadeira.

$n = 15$