Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 3 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (x)$ .

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u^{2} + 2 u - 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cos (x) = 1$

Etapa 3.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 3.2.5

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.7

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\cos (x) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos (x) + 3$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos (x) + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\cos (x) = - 3$

Etapa 4.2.2

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 3$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

$x = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$