Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 1

Substitua $\cos^{2} (x)$ por $1 - \sin^{2} (x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2

Subtraia $3 \sin^{2} (x)$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$1 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 3

Reordene o polinômio.

$- 4 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 4 \sin^{2} (x) = - 1$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 4 \sin^{2} (x) = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Etapa 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 7

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 7.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 7.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 7.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 10.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 10.4

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 10.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 10.4.2

Combine frações.

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Etapa 10.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 10.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 10.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.4.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 10.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 10.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 11.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 11.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 11.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 11.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 11.4.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 11.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 11.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 11.6.3

Combine frações.

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Etapa 11.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 11.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 11.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.6.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 11.6.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 11.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 11.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Consolide as soluções.

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Etapa 13.1

Consolide $\frac{π}{6} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13.2

Consolide $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ e $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$