Trigonometria Exemplos

$\csc^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

Etapa 1

Substitua $\csc^{2} (x)$ por $\cot^{2} (x) + 1$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) + 1) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

Etapa 2

Subtraia $5$ de $1$ .

$\cot^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 4 = 0$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} + 0.5 (u) - 4 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 0.5$ e $c = - 4$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 0.5 \pm \sqrt{{0.5}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 + 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Some $0.25$ e $16$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 1.76556443, - 2.26556443$

Etapa 8

Substitua $\cot (x)$ por $u$ .

$\cot (x) = 1.76556443, - 2.26556443$

Etapa 9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cot (x) = 1.76556443$

$\cot (x) = - 2.26556443$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\cot (x) = 1.76556443$ .

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Etapa 10.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (1.76556443)$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

Avalie $arccot (1.76556443)$ .

$x = 0.5153404$

Etapa 10.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

Etapa 10.4

Resolva $x$ .

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Etapa 10.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.5153404$

Etapa 10.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

Etapa 10.4.3

Some $3.14159265$ e $0.5153404$ .

$x = 3.65693305$

Etapa 10.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 10.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\cot (x) = - 2.26556443$ .

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Etapa 11.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (- 2.26556443)$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

Avalie $arccot (- 2.26556443)$ .

$x = 2.7259209$

Etapa 11.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.7259209 - (3.14159265)$

Etapa 11.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 11.4.1

Some $2 π$ a $2.7259209 - (3.14159265)$ .

$x = 2.7259209 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 11.4.2

O ângulo resultante de $5.86751355$ é positivo e coterminal com $2.7259209 - (3.14159265)$ .

$x = 5.86751355$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Liste todas as soluções.

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Consolide as soluções.

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Etapa 13.1

Consolide $0.5153404 + π n$ e $3.65693305 + π n$ em $0.5153404 + π n$ .

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13.2

Consolide $2.7259209 + π n$ e $5.86751355 + π n$ em $2.7259209 + π n$ .

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$