Trigonometria Exemplos

$\frac{\csc (x)}{\cot (x)} = \sqrt{2}$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\csc (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} = \sqrt{2}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} = \sqrt{2}$

Etapa 1.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sqrt{2}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sqrt{2}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sqrt{2}$

Etapa 1.1.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Etapa 2

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

O valor exato de $arcsec (\sqrt{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 4

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 5

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 5.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 6

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$