Trigonometria Exemplos

$\cot^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Etapa 1

Substitua $\cot^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x) - 1$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Etapa 2

Expanda $(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - 1 \cdot \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Etapa 3.2

Reescreva $- 1 \csc^{2} (x)$ como $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Etapa 3.3

Reescreva $- 1 \sec^{2} (x)$ como $- \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Etapa 3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Etapa 4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1

Simplifique $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $\csc^{2} (x)$ de $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Etapa 4.1.1.2

Fatore $\csc^{2} (x)$ de $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Etapa 4.1.1.3

Fatore $\csc^{2} (x)$ de $\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Etapa 4.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Etapa 4.1.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1.3.1

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1 = 1$

Etapa 4.1.3.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Etapa 4.1.3.3

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Etapa 4.1.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\csc^{2} (x) \tan^{2} (x)$ como ${(\csc (x) \tan (x))}^{2}$ .

${(\csc (x) \tan (x))}^{2} - \tan^{2} (x) = 1$

Etapa 4.1.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \csc (x) \tan (x)$ e $b = \tan (x)$ .

$(\csc (x) \tan (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.7

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.7.1.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.7.1.1.1

Reordene $\csc (x)$ e $\tan (x)$ .

$(\tan (x) \csc (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.7.1.1.2

Reescreva $\csc (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.7.1.1.3

Cancele os fatores comuns.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.7.1.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.7.2.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.7.2.1.1

Reordene $\csc (x)$ e $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\tan (x) \csc (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.7.2.1.2

Reescreva $\csc (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.7.2.1.3

Cancele os fatores comuns.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.7.2.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.8

Expanda $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.9

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1.9.1

Combine os termos opostos em $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Etapa 4.1.9.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\sec (x) (- \tan (x))$ e $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.9.1.2

Some $- \sec (x) \tan (x)$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.9.1.3

Some $\sec (x) \sec (x)$ e $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.9.2.1

Multiplique $\sec (x) \sec (x)$ .

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Etapa 4.1.9.2.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.9.2.1.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.9.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.9.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.9.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) = 1$

Etapa 4.1.9.2.3

Multiplique $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Etapa 4.1.9.2.3.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) = 1$

Etapa 4.1.9.2.3.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) = 1$

Etapa 4.1.9.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} = 1$

Etapa 4.1.9.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Etapa 4.1.10

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 = 1$

Etapa 5

Como $1 = 1$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$