Trigonometria Exemplos

$e^{2 x} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Etapa 1

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

${(e^{x})}^{2} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Etapa 2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} - 30 u + 1 = 0$

Etapa 3

Resolva $u$ .

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Etapa 3.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 30$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1.1

Eleve $- 30$ à potência de $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.3

Subtraia $4$ de $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.4

Reescreva $896$ como $8^{2} \cdot 14$ .

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Etapa 3.3.1.4.1

Fatore $64$ de $896$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.4.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique $\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

Etapa 3.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

Etapa 4

Substitua $15 + 4 \sqrt{14}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Etapa 5

Resolva $15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

Etapa 5.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Etapa 5.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Etapa 5.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Etapa 5.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Etapa 6

Substitua $15 - 4 \sqrt{14}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Etapa 7

Resolva $15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Etapa 7.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Etapa 7.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Etapa 7.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Etapa 8

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Forma decimal:

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$