Trigonometria Exemplos

$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $3^{2 x}$ como ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = 3^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $3^{x}$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} - 4 u + 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3^{x}$ .

$(3^{x} - 3) (3^{x} - 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Etapa 3

Defina $3^{x} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $3^{x} - 3$ como igual a $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $3^{x} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$3^{x} = 3$

Etapa 3.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{1}$

Etapa 3.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 1$

Etapa 4

Defina $3^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $3^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3^{x} = 1$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Etapa 4.2.3

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Etapa 4.2.5

Divida cada termo em $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 4.2.5.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 4.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 4.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 4.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 4.2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.5.3.1

Divida $0$ por $\ln (3)$ .

$x = 0$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(3^{x} - 3) (3^{x} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, 0$