Trigonometria Exemplos

$\sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 1

Fatore $\sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\sin (x) (\sqrt{2} \cos (x) - 1) - (\sqrt{2} \cos (x) - 1) = 0$

Etapa 1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ .

$(\sqrt{2} \cos (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Etapa 3

Defina $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{2} \cos (x) = 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ por $\sqrt{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.3.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.3.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.2.2.3.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.2.2.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.2.2.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.2.2.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.2.2.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.2.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.2.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.2.2.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 3.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 3.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 3.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $\sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sin (x) = 1$

Etapa 4.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.5

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.5.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 4.2.5.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\sqrt{2} \cos (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$