Trigonometria Exemplos

$\tan^{2} (x) - 3 \sec (x) = - 3$

Etapa 1

Substitua $\tan^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x) - 1$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) - 3 \sec (x) = - 3$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$\sec^{2} (x) - 3 \sec (x) - 1 = - 3$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\sec (x)$ .

${(u)}^{2} - 3 u - 1 = - 3$

Etapa 4

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u^{2} - 3 u - 1 + 3 = 0$

Etapa 5

Some $- 1$ e $3$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Etapa 6

Fatore $u^{2} - 3 u + 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 8

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 9

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 9.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 2) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 2, 1$

Etapa 11

Substitua $\sec (x)$ por $u$ .

$\sec (x) = 2, 1$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = 1$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\sec (x) = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (2)$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

O valor exato de $arcsec (2)$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 13.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 13.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 13.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 13.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 13.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 13.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\sec (x) = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (1)$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

O valor exato de $arcsec (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 14.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 14.4

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Consolide $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ em $2 π n$ .

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$