Trigonometria Exemplos

$\tan^{2} (x) - \tan (x) - 2 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\tan (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u^{2} - u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Etapa 3

Defina $\tan (x) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $\tan (x) - 2$ como igual a $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\tan (x) - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\tan (x) = 2$

Etapa 3.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (2)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Avalie $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Etapa 3.2.4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Etapa 3.2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.5.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Etapa 3.2.5.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Etapa 3.2.5.3

Some $3.14159265$ e $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\tan (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\tan (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\tan (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 4.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 4.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 4.2.5.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 4.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 4.2.7.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 4.2.7.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.7.3

Combine frações.

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Etapa 4.2.7.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 4.2.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.7.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 4.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 4.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 4.2.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide $1.10714871 + π n$ e $4.24874137 + π n$ em $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.10714871 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$