Trigonometria Exemplos

$\sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $\sin^{4} (x)$ como ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = \sin^{2} (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin^{2} (x)$ .

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} + 2 u - 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $\sin^{2} (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $\sin^{2} (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\sin^{2} (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sin^{2} (x) = 1$

Etapa 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (x) = \pm 1$

Etapa 3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = 1$

Etapa 3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = 1, - 1$

Etapa 3.2.5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = - 1$

Etapa 3.2.6

Resolva $x$ em $\sin (x) = 1$ .

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Etapa 3.2.6.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 3.2.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.6.2.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.6.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.6.4

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.2.6.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.6.4.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.6.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.2.6.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.6.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 3.2.6.4.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.6.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.2.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.6.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.7

Resolva $x$ em $\sin (x) = - 1$ .

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Etapa 3.2.7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 3.2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.7.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.7.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 3.2.7.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.2.7.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 3.2.7.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.2.7.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.7.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.2.7.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 3.2.7.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.7.6.3

Combine frações.

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Etapa 3.2.7.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.7.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.2.7.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.7.6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.2.7.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 3.2.7.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.2.7.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.8

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\sin^{2} (x) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sin^{2} (x) + 3$ como igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sin^{2} (x) + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\sin^{2} (x) = - 3$

Etapa 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 4.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Etapa 4.2.3.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 4.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\sin (x) = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

Etapa 4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Etapa 4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 4.2.5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Etapa 4.2.6

Resolva $x$ em $\sin (x) = i \sqrt{3}$ .

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Etapa 4.2.6.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (i \sqrt{3})$

Etapa 4.2.6.2

O seno inverso de $\arcsin (i \sqrt{3})$ é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.2.7

Resolva $x$ em $\sin (x) = - i \sqrt{3}$ .

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Etapa 4.2.7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- i \sqrt{3})$

Etapa 4.2.7.2

O seno inverso de $\arcsin (- i \sqrt{3})$ é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.2.8

Liste todas as soluções.

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$