Trigonometria Exemplos

$\tan^{2} (x) = 2 \tan (x) + 1$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} = 2 (u) + 1$

Etapa 2

Subtraia $2 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - 2 u = 1$

Etapa 3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Some $4$ e $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 6.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 1 \pm \sqrt{2}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Etapa 8

Substitua $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Etapa 9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{2}$

$\tan (x) = 1 - \sqrt{2}$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\tan (x) = 1 + \sqrt{2}$ .

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Etapa 10.1

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\tan (x) = 2.41421356$

Etapa 10.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (2.41421356)$

Etapa 10.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.3.1

Avalie $\arctan (2.41421356)$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Etapa 10.4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{3 π}{8}$

Etapa 10.5

Simplifique $π + \frac{3 π}{8}$ .

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Etapa 10.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{3 π}{8}$

Etapa 10.5.2

Combine frações.

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Etapa 10.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{3 π}{8}$

Etapa 10.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 8 + 3 π}{8}$

Etapa 10.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.5.3.1

Mova $8$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{8 \cdot π + 3 π}{8}$

Etapa 10.5.3.2

Some $8 π$ e $3 π$ .

$x = \frac{11 π}{8}$

Etapa 10.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 10.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 10.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 10.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 10.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{11 π}{8} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\tan (x) = 1 - \sqrt{2}$ .

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Etapa 11.1

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\tan (x) = - 0.41421356$

Etapa 11.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 0.41421356)$

Etapa 11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.3.1

Avalie $\arctan (- 0.41421356)$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Etapa 11.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{8} - π$

Etapa 11.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 11.5.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{8} - π$ .

$x = - \frac{π}{8} - π + 2 π$

Etapa 11.5.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{8}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{8} - π$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Etapa 11.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 11.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 11.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 11.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 11.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11.7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 11.7.1

Some $π$ com $- \frac{π}{8}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{8} + π$

Etapa 11.7.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Etapa 11.7.3

Combine frações.

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Etapa 11.7.3.1

Combine $π$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Etapa 11.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Etapa 11.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.7.4.1

Mova $8$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Etapa 11.7.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Etapa 11.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{7 π}{8}$

Etapa 11.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Liste todas as soluções.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{11 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$